Le nombre d’or et l’histoire de l’art

Quel point en commun entre ces cartes de paiement, ce tableau de Turner et le Parthénon ?

Norham Castle at Sunrise, J. M. W. Turner, 1845

Norham Castle at Sunrise, J. M. W. Turner, 1845

Cartes de paiement

Cartes de paiement

Le Parthénon

Le Parthénon

Oui oui, c’est bien leur forme, qui s’approche toutes d’un rectangle qui plaît aux yeux,  le rectangle d’or.

Pour toute introduction, le mieux est encore de commencer avec un dessin animé de Disney : le nombre d’or est expliqué entre la 8′ et 13′ minutes.

 

Rectangle d'or

Rectangle d’or

 

Cette proportion du rectangle, qualifiée de  « divine » par un mathématicien du XVe siècle, a une histoire que l’on peut retracer selon trois moments importants.

Elle commence en Grèce antique. Les réflexions sur la proportion remontent très loin dans l’Antiquité, mais on considère souvent que c’est Phidias (490-430 av. J-C), sculpteur à Athènes, qui  a utilisé le premier, sciemment, la divine proportion pour ses oeuvres, notamment sa statue d’Athéna, qui n’existe plus aujourd’hui.

Après la guerre contre les Perses (492-449 av. J.-C.). Periclès fut à initiative d’un grand programme de construction vers 447. Ainsi l’architecte Ictios réalisa le Parthénon, construit en l’honneur d’Athéna et qui devait accueillir la  statue créée par Phidias. Le Parthénon fut aussi construit selon un rectangle d’or.  Vitruve, un architecte romain du Ier siècle, mentionne dans ses sources qu’Ictios aurait rédigé un traité, aujourd’hui perdu.

Le plan du Parthénon et sa façade, telle qu’elle était à l’origine avec son fronton, respectent la même proportion :

Plan du Parthénon

Plan du Parthénon

Une reconstitution grandeur nature du Parthénon, au parc du Centenaire (1897), à Nashville (États-Unis)

Une reconstitution grandeur nature du Parthénon, au parc du Centenaire (1897), à Nashville (États-Unis)

 

L’idéal esthétique grec se retrouve durant l’époque romaine, comme en témoigne Vitruve.

Vitruve  présenta dans son De Architectura l’idéal de l’architecture : l’imitation de la nature. Dans son livre III sur les temples, il explique que le corps humain a des proportions parfaites ; les temples doivent avoir alors les mêmes proportions.

L'homme de Vitruve, Leonard de Vinci, dans la Divine Proportion de Luca Pacioli, 1509

L’homme de Vitruve, Leonard de Vinci, dans De la Divine Proportion de Luca Pacioli, 1509

Si le rectangle d’or est utilisé au Moyen Âge, c’est à la Renaissance que l’on rencontre les nouveaux théoriciens et mathématiciens qui se penchent sur la question.

Luca Pacioli (1445-1514) est peut-être le mathématicien le plus célèbre d’entre eux. Il est italien, originaire de Borgo San Sepolcro, et il est moine franciscain. Hommes de sciences, il est théologien et mathématicien. Son amitié avec Piero della Francesca, un des pionniers de la perpective, lui permet d’accéder à d’importantes bibliothèques italiennes, comme celle du duché d’Urbino. Invité par Ludovic le More, duc de Milan, à sa cour, il y rencontra Leonard de Vinci, avec qui il devient aussi ami. Un peu comme Frédéric II qu’on a vu dans l’article précédent, Ludovic Sforza voulait faire de sa cour un lieu intellectuel et culturel important.

L’oeuvre majeure de Luca Pacioli est la Summa di arithmetica, geometrica, proportione et proportionalita, encyclopédie mathématique, publiée en 1494. Mais il est aussi connu pour sa  De Divina Proportione, imprimé à Venise en 1509 et dont un manuscrit avait été offert à au duc de Milan. Dans cet ouvrage, composé de trois livres, Pacioli attribue à la proportion divine à un idéal divin. L’incommensurabilité et la perfection du nombre d’or sont vues par ce mathématicien du XVe siècle comme une oeuvre de Dieu, insaisissable et parfaite.

Leonard de Vinci a illustré le premier livre du De Divina Proportione : c’est le célèbre Homme de Vitruve (cf plus haut), qui voyait dans le corps humain la proportion parfaite.

Pour comprendre la fascination autour de ce nombre, voici quelques explications mathématiques :

Le nombre d’or

Le nombre d’or, que nous noterons traditionnellement \phi (lettre phi empruntée à la 1ere du nom de Phidias) est la proportion pour laquelle si a et b sont respectivement la longueur et la largeur d’un rectangle. Alors le rapport \phi\frac{a}{b} est égal à \frac{a+b}{b}.

Une résolution de cette équation donne \phi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}. Rien de bien charmant. Une écriture décimale approchée nous donne environ : 1,61803398. Cependant ce nombre étant irrationnel, par définition, il ne peut être écrit explicitement en base décimale (ou en base quelconque). Son écriture en fractions continues est \frac{1}{1 + \frac{1}{1+\frac{1}{1+...}}}, ce qui cette fois, est plutôt joli.

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Le nombre d’or est ainsi connu pour certaines propriétés esthétiques et pour son apparition dans la suite très connue de Fibonacci.

Pour terminer cet article, ajoutons que certaines oeuvres musicales ont le nombre d’or pour déterminer le nombre de mesures. 

 Nous espérons que ce deuxième article de la série pluridisciplinaire vous aura plus, n’hésitez pas à laisser un commentaire : une question, une remarque, un ajout éventuel à faire 🙂

Pour aller plus loin :

http://images.math.cnrs.fr/Le-Nombre-d-or.html

Le nombre d’or. Le langage mathématique de la beauté, collection présentée par Cédric Villani, No1, 164 p., 3,99 €

Priya Hemenway, The Secret Code, The mysterious formula that rules art, nature, and science, Evergreen, 2008

 

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Des lapins et Frédéric II : quel lien ? Leonardo Fibonacci !

Introduction

Palais des Normands à Palerme ; cour intérieur

Palais des Normands à Palerme ; cour intérieur

Un lapin

Un lapin

Cette semaine, nous allons faire un billet d’un autre genre, d’un genre tout nouveau pour ce blog. L’histoire de la suite de Fibonacci et du nombre d’or est peut-être l’une des plus connue des mathématiques. Le nombre d’or est aussi peut-être LA proportion à connaître pour l’histoire de l’art. 

Fibonnaci est connu pour avoir résolu, dans le Flos Leonardi, 15 problèmes d’analyse dont le « problème des lapins ». Voici, telle qu’elle a été formulée, le problème introduisant la suite de Fibonacci :

Un homme met un couple de lapins dans un lieu isolé de tous les côtés par un mur. Combien de couples obtient-on en un an si chaque couple engendre tous les mois un nouveau couple à compter du troisième mois de son existence ?

Evidemment, plus qu’un intérêt pour les lapins, c’est une question d’étude de la dynamique des populations.

Qu’est-ce qui est intéressant ? Personnellement, nous trouvons la question de la dynamique profondément intéressante notamment en raison des deux points suivants :

  • Pouvoir mettre des mots simples sur des choses qui paraissent complexes. Si cette histoire est si agréable à écouter et à formuler, c’est parce qu’elle est simple (à ne pas confondre avec facile).
  • Parce qu’elle cache beaucoup de choses. Au fond, les lapins n’ont que peu d’importance, on sait d’avance que cela n’a pas de sens « réel ». Mais derrière ce problème se cachent des outils communs à énormément de problèmes, allant de la trajectoire des astres au mouvement de convection d’un liquide chauffé.

Mais pour commencer, un peu d’histoire ! 

Mais qui était donc Fibonacci ? 

Statue de Léonard de Pise, dans sa ville natale

Statue de Léonard de Pise, dans sa ville natale

Fibonacci était un italien du XIIIe siècle, qui s’appelait Leonardo et était surnommé Bigollo (« le voyageur »). On connait mal sa vie, mais on sait qu’il est né à Pise vers 1170 et qu’il a passé la majeure partie de sa vie à Béjaïa (anciennement Bougie), où son père était un »publicus scriba »  (chancelier, notaire ou représentant commercial, on ne sait pas exactement) de Pise. Ils ont beaucoup voyagé en Egypte, en Syrie, en Grèce, en Sicile et en Provence. A Béjaïa, il fait des études de mathématiques avec un mathématicien arabe, dont il a probablement appris le système de notation décimal.

Liber abaci, MS Biblioteca Nazionale di Firenze, Codice Magliabechiano cs cI 2616, fol. 124

Liber abaci, MS Biblioteca Nazionale di Firenze, Codice Magliabechiano cs cI 2616, fol. 124

Sa plus grande oeuvre est le Liber abaci, daté de 1202 où il expose les avantages du système numéraire « indien » (ou « arabe », celui actuel) et comment simplifier les calculs/équations. Il étudia aussi les théories de la proportion et les techniques pour trouver les solutions d’équations. Il publia plus tard, en 1220, la Practica geometriae (1220), un traité où il présente notamment le nombre Pi.

Il est intéressant de voir que Fibonacci ait fréquenté la cour de Frédéric II en Sicile, empereur germanique et qu’il fut sous sa protection. Le Liber quadratorium (1225) lui est dédicacé et il le rencontra en 1226. Cette oeuvre, considérée comme la plus grande, est consacrée encore aux théories des nombres et contient la fameuse suite de Fibonacci.

Frédéric II était un empereur atypique, en conflit permanent avec le pape mais protecteur des savants du monde entier.

Frederick_II_and_eagle

Né en Italie lui aussi, il régna entre 1220 et 1250 sur le Saint-Empire romain germanique. Ce dernier était composé de nombreux territoires différents et se trouvait en concurrence notamment avec la papauté, d’où les nombreux conflits avec l’empereur. Empereur de nombreux territoires, il est à la confluence de nombreuses cultures et langues : le grec, le latin, l’italien, l’arabe, le normand et l’allemand (que lui-même maîtrisait mal).

 

Schéma du Saint-Empire germanique vers 1181

Croquis du Saint-Empire germanique vers 1181

Mais l’originalité de la cour de Frédéric II est vraiment cette présence de savants et l’émulation scientifique et littéraire. Il rassemblait poètes, traducteurs, philosophes et mathématiciens comme Fibonacci ou Michel Scot. Il fit traduire des oeuvres très importantes comme celles d’Aristote et Avicenne. Frédéric II fut lui-même à l’origine d’un traité : de l’Art de chasser avec les oiseaux (De arts venandi cum avibus).  On comprend donc le climat dans lequel a dû évoluer Leonardo Fibonacci. Entre la cour de Sicile et ses nombreux voyages, Fibonacci a appris beaucoup des sciences mathématiques arabes du IXe et Xe siècles (l’algèbre l’arithmétique).

La suite de Fibonacci : aspects mathématiques

Revenons aux lapins pour comprendre la suite de Fibonacci. Regardons le nombre de couples de lapins adultes au fil des mois. Explicitons les règles : 

  • on commence par 1 couple jeune et 0 couple adulte le 1er mois ;
  • le 2e mois, on a 0 couple jeune et 1 couple adulte ;
  • le 3e mois, on a 1 couple jeune et 1 couple adulte ;
  • le 4e mois, on a 1 couple jeune et 2 couples adultes ;

=> et ainsi de suite : on a  0 couple adultes puis 1 puis 1 puis 2 puis 3 puis 5 puis 8 et que je vous demande le prochain numéro gagnant, que dîtes vous ? Vous devriez dire 13 pour gagner, en effet, chaque nombre est la somme des deux précédents. C’est ce qu’on appelle la « suite de Fibonacci ».

La suite grandit très vite  et même de manière dite exponentielle. Mais tout d’abord, qu’est-ce qu’une suite?

Une suite, c’est une famille d’éléments (ici des nombres) indexée par l’ensemble des entiers naturels.
De manière moins abstraite, imaginez vous une bibliothèque (c’est la suite) très très grande (en fait, elle est infinie), dans laquelle tous les livres ont pour référence un entier positif (1,2,3,etc.). Bien évidement, chaque livre a une référence unique, dans le cas contraire comment pourriez vous m’apporter le livre numéro 7?
Définir une suite, c’est définir chaque élément (on parle de « terme ») correspondant à chaque référence (en clair : qui est le livre numéro 7).

Par exemple : la suite des entiers pairs (u_n)_{n\in \mathbf{N}} (prononcez « u indice n, n dans grand n » ; on aurait pu l’appeler autrement mais u est rapide à écrire) est définie par :
Pour tout entier naturel (c’est à dire un entier plus grand ou égal à 0) u_n = 2\times n.
On a alors u_0 = 0u_1 = 2u_3 = 6, etc. Vous avez bien là l’ensemble des entiers pairs !

Une fois cette notion comprise, on peut définir la suite (\mathcal{F}_n)_{n\in \mathbf{N}} de Fibonacci.
Pour tout n entier naturel, \mathcal{F}_n = \mathcal{F}_{n-1} + \mathcal{F}_{n-2} et \mathcal{F}_0 = 0, \mathcal{F}_1 = 1.

À partir de cette définition, la suite est bien totalement définie. Cependant, vous l’aurez remarqué, j’ai utilisé une règle étrange pour donner la valeur de chaque terme. J’ai fait ce que l’on appelle dans le jargon mathématique : une suite définie par récurrence. C’est-à-dire que chaque terme est défini par des termes précédents.

Difficile de donner directement la valeur de \mathcal{F}_{324}. Il faut avant, connaître les valeurs \mathcal{F}_{322} et \mathcal{F}_{323}. Cependant pour ces valeurs là il faut connaître les valeurs précédentes et ainsi de suite.

La récurrence est donc un procédé pratique pour définir une suite, mais assez embêtant pour connaitre explicitement les valeurs. Pour les connaître, il faut résoudre la récurrence. Une telle résolution nous donnerait :

\mathcal{F}_n = \frac{1}{\sqrt{5}}\left(\phi^n +\left(\frac{-1}{\phi} \right)^n\right)

avec bien évidement \phi le nombre d’or !

Le nombre d’or apparaît dans la résolution de la suite récurrente. Les termes de la suite de Fibonacci sont donc couramment présents là où l’esthétique dans les rapports est importante (comme dans l’architecture).

Ainsi, nous avons posé les bases du nombre d’or et nous verrons dans le prochain article les principales applications du nombre d’or en histoire de l’art et la vérité sur le schéma d’un autre célèbre Leonardo 😉

NB :  Vous l’aurez sans doute remarqué, la rédaction de cet article est un peu différente. C’est parce qu’il fut rédigé à 4 mains ! 2 d’historiens, 2 de mathématiciens !

Nous espérons que ce court article vous aura plus, n’hésitez pas à laisser un commentaire : une remarque, une question, une suggestion, une recette à cookies (hum), etc.

 

Pour aller plus loin : 

I. Heullant Donat (dir.), Education et cultures, Occident chrétien XIIe-XVe siècle, Tome II, Atlande, 1999

V. Arnold, Equations différentielles ordinaires, Ellipses, Editions Mir Moscou, 1974