Le nombre d’or et l’histoire de l’art

Quel point en commun entre ces cartes de paiement, ce tableau de Turner et le Parthénon ?

Norham Castle at Sunrise, J. M. W. Turner, 1845

Norham Castle at Sunrise, J. M. W. Turner, 1845

Cartes de paiement

Cartes de paiement

Le Parthénon

Le Parthénon

Oui oui, c’est bien leur forme, qui s’approche toutes d’un rectangle qui plaît aux yeux,  le rectangle d’or.

Pour toute introduction, le mieux est encore de commencer avec un dessin animé de Disney : le nombre d’or est expliqué entre la 8′ et 13′ minutes.

 

Rectangle d'or

Rectangle d’or

 

Cette proportion du rectangle, qualifiée de  « divine » par un mathématicien du XVe siècle, a une histoire que l’on peut retracer selon trois moments importants.

Elle commence en Grèce antique. Les réflexions sur la proportion remontent très loin dans l’Antiquité, mais on considère souvent que c’est Phidias (490-430 av. J-C), sculpteur à Athènes, qui  a utilisé le premier, sciemment, la divine proportion pour ses oeuvres, notamment sa statue d’Athéna, qui n’existe plus aujourd’hui.

Après la guerre contre les Perses (492-449 av. J.-C.). Periclès fut à initiative d’un grand programme de construction vers 447. Ainsi l’architecte Ictios réalisa le Parthénon, construit en l’honneur d’Athéna et qui devait accueillir la  statue créée par Phidias. Le Parthénon fut aussi construit selon un rectangle d’or.  Vitruve, un architecte romain du Ier siècle, mentionne dans ses sources qu’Ictios aurait rédigé un traité, aujourd’hui perdu.

Le plan du Parthénon et sa façade, telle qu’elle était à l’origine avec son fronton, respectent la même proportion :

Plan du Parthénon

Plan du Parthénon

Une reconstitution grandeur nature du Parthénon, au parc du Centenaire (1897), à Nashville (États-Unis)

Une reconstitution grandeur nature du Parthénon, au parc du Centenaire (1897), à Nashville (États-Unis)

 

L’idéal esthétique grec se retrouve durant l’époque romaine, comme en témoigne Vitruve.

Vitruve  présenta dans son De Architectura l’idéal de l’architecture : l’imitation de la nature. Dans son livre III sur les temples, il explique que le corps humain a des proportions parfaites ; les temples doivent avoir alors les mêmes proportions.

L'homme de Vitruve, Leonard de Vinci, dans la Divine Proportion de Luca Pacioli, 1509

L’homme de Vitruve, Leonard de Vinci, dans De la Divine Proportion de Luca Pacioli, 1509

Si le rectangle d’or est utilisé au Moyen Âge, c’est à la Renaissance que l’on rencontre les nouveaux théoriciens et mathématiciens qui se penchent sur la question.

Luca Pacioli (1445-1514) est peut-être le mathématicien le plus célèbre d’entre eux. Il est italien, originaire de Borgo San Sepolcro, et il est moine franciscain. Hommes de sciences, il est théologien et mathématicien. Son amitié avec Piero della Francesca, un des pionniers de la perpective, lui permet d’accéder à d’importantes bibliothèques italiennes, comme celle du duché d’Urbino. Invité par Ludovic le More, duc de Milan, à sa cour, il y rencontra Leonard de Vinci, avec qui il devient aussi ami. Un peu comme Frédéric II qu’on a vu dans l’article précédent, Ludovic Sforza voulait faire de sa cour un lieu intellectuel et culturel important.

L’oeuvre majeure de Luca Pacioli est la Summa di arithmetica, geometrica, proportione et proportionalita, encyclopédie mathématique, publiée en 1494. Mais il est aussi connu pour sa  De Divina Proportione, imprimé à Venise en 1509 et dont un manuscrit avait été offert à au duc de Milan. Dans cet ouvrage, composé de trois livres, Pacioli attribue à la proportion divine à un idéal divin. L’incommensurabilité et la perfection du nombre d’or sont vues par ce mathématicien du XVe siècle comme une oeuvre de Dieu, insaisissable et parfaite.

Leonard de Vinci a illustré le premier livre du De Divina Proportione : c’est le célèbre Homme de Vitruve (cf plus haut), qui voyait dans le corps humain la proportion parfaite.

Pour comprendre la fascination autour de ce nombre, voici quelques explications mathématiques :

Le nombre d’or

Le nombre d’or, que nous noterons traditionnellement \phi (lettre phi empruntée à la 1ere du nom de Phidias) est la proportion pour laquelle si a et b sont respectivement la longueur et la largeur d’un rectangle. Alors le rapport \phi\frac{a}{b} est égal à \frac{a+b}{b}.

Une résolution de cette équation donne \phi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}. Rien de bien charmant. Une écriture décimale approchée nous donne environ : 1,61803398. Cependant ce nombre étant irrationnel, par définition, il ne peut être écrit explicitement en base décimale (ou en base quelconque). Son écriture en fractions continues est \frac{1}{1 + \frac{1}{1+\frac{1}{1+...}}}, ce qui cette fois, est plutôt joli.

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Le nombre d’or est ainsi connu pour certaines propriétés esthétiques et pour son apparition dans la suite très connue de Fibonacci.

Pour terminer cet article, ajoutons que certaines oeuvres musicales ont le nombre d’or pour déterminer le nombre de mesures. 

 Nous espérons que ce deuxième article de la série pluridisciplinaire vous aura plus, n’hésitez pas à laisser un commentaire : une question, une remarque, un ajout éventuel à faire 🙂

Pour aller plus loin :

http://images.math.cnrs.fr/Le-Nombre-d-or.html

Le nombre d’or. Le langage mathématique de la beauté, collection présentée par Cédric Villani, No1, 164 p., 3,99 €

Priya Hemenway, The Secret Code, The mysterious formula that rules art, nature, and science, Evergreen, 2008

 

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Des lapins et Frédéric II : quel lien ? Leonardo Fibonacci !

Introduction

Palais des Normands à Palerme ; cour intérieur

Palais des Normands à Palerme ; cour intérieur

Un lapin

Un lapin

Cette semaine, nous allons faire un billet d’un autre genre, d’un genre tout nouveau pour ce blog. L’histoire de la suite de Fibonacci et du nombre d’or est peut-être l’une des plus connue des mathématiques. Le nombre d’or est aussi peut-être LA proportion à connaître pour l’histoire de l’art. 

Fibonnaci est connu pour avoir résolu, dans le Flos Leonardi, 15 problèmes d’analyse dont le « problème des lapins ». Voici, telle qu’elle a été formulée, le problème introduisant la suite de Fibonacci :

Un homme met un couple de lapins dans un lieu isolé de tous les côtés par un mur. Combien de couples obtient-on en un an si chaque couple engendre tous les mois un nouveau couple à compter du troisième mois de son existence ?

Evidemment, plus qu’un intérêt pour les lapins, c’est une question d’étude de la dynamique des populations.

Qu’est-ce qui est intéressant ? Personnellement, nous trouvons la question de la dynamique profondément intéressante notamment en raison des deux points suivants :

  • Pouvoir mettre des mots simples sur des choses qui paraissent complexes. Si cette histoire est si agréable à écouter et à formuler, c’est parce qu’elle est simple (à ne pas confondre avec facile).
  • Parce qu’elle cache beaucoup de choses. Au fond, les lapins n’ont que peu d’importance, on sait d’avance que cela n’a pas de sens « réel ». Mais derrière ce problème se cachent des outils communs à énormément de problèmes, allant de la trajectoire des astres au mouvement de convection d’un liquide chauffé.

Mais pour commencer, un peu d’histoire ! 

Mais qui était donc Fibonacci ? 

Statue de Léonard de Pise, dans sa ville natale

Statue de Léonard de Pise, dans sa ville natale

Fibonacci était un italien du XIIIe siècle, qui s’appelait Leonardo et était surnommé Bigollo (« le voyageur »). On connait mal sa vie, mais on sait qu’il est né à Pise vers 1170 et qu’il a passé la majeure partie de sa vie à Béjaïa (anciennement Bougie), où son père était un »publicus scriba »  (chancelier, notaire ou représentant commercial, on ne sait pas exactement) de Pise. Ils ont beaucoup voyagé en Egypte, en Syrie, en Grèce, en Sicile et en Provence. A Béjaïa, il fait des études de mathématiques avec un mathématicien arabe, dont il a probablement appris le système de notation décimal.

Liber abaci, MS Biblioteca Nazionale di Firenze, Codice Magliabechiano cs cI 2616, fol. 124

Liber abaci, MS Biblioteca Nazionale di Firenze, Codice Magliabechiano cs cI 2616, fol. 124

Sa plus grande oeuvre est le Liber abaci, daté de 1202 où il expose les avantages du système numéraire « indien » (ou « arabe », celui actuel) et comment simplifier les calculs/équations. Il étudia aussi les théories de la proportion et les techniques pour trouver les solutions d’équations. Il publia plus tard, en 1220, la Practica geometriae (1220), un traité où il présente notamment le nombre Pi.

Il est intéressant de voir que Fibonacci ait fréquenté la cour de Frédéric II en Sicile, empereur germanique et qu’il fut sous sa protection. Le Liber quadratorium (1225) lui est dédicacé et il le rencontra en 1226. Cette oeuvre, considérée comme la plus grande, est consacrée encore aux théories des nombres et contient la fameuse suite de Fibonacci.

Frédéric II était un empereur atypique, en conflit permanent avec le pape mais protecteur des savants du monde entier.

Frederick_II_and_eagle

Né en Italie lui aussi, il régna entre 1220 et 1250 sur le Saint-Empire romain germanique. Ce dernier était composé de nombreux territoires différents et se trouvait en concurrence notamment avec la papauté, d’où les nombreux conflits avec l’empereur. Empereur de nombreux territoires, il est à la confluence de nombreuses cultures et langues : le grec, le latin, l’italien, l’arabe, le normand et l’allemand (que lui-même maîtrisait mal).

 

Schéma du Saint-Empire germanique vers 1181

Croquis du Saint-Empire germanique vers 1181

Mais l’originalité de la cour de Frédéric II est vraiment cette présence de savants et l’émulation scientifique et littéraire. Il rassemblait poètes, traducteurs, philosophes et mathématiciens comme Fibonacci ou Michel Scot. Il fit traduire des oeuvres très importantes comme celles d’Aristote et Avicenne. Frédéric II fut lui-même à l’origine d’un traité : de l’Art de chasser avec les oiseaux (De arts venandi cum avibus).  On comprend donc le climat dans lequel a dû évoluer Leonardo Fibonacci. Entre la cour de Sicile et ses nombreux voyages, Fibonacci a appris beaucoup des sciences mathématiques arabes du IXe et Xe siècles (l’algèbre l’arithmétique).

La suite de Fibonacci : aspects mathématiques

Revenons aux lapins pour comprendre la suite de Fibonacci. Regardons le nombre de couples de lapins adultes au fil des mois. Explicitons les règles : 

  • on commence par 1 couple jeune et 0 couple adulte le 1er mois ;
  • le 2e mois, on a 0 couple jeune et 1 couple adulte ;
  • le 3e mois, on a 1 couple jeune et 1 couple adulte ;
  • le 4e mois, on a 1 couple jeune et 2 couples adultes ;

=> et ainsi de suite : on a  0 couple adultes puis 1 puis 1 puis 2 puis 3 puis 5 puis 8 et que je vous demande le prochain numéro gagnant, que dîtes vous ? Vous devriez dire 13 pour gagner, en effet, chaque nombre est la somme des deux précédents. C’est ce qu’on appelle la « suite de Fibonacci ».

La suite grandit très vite  et même de manière dite exponentielle. Mais tout d’abord, qu’est-ce qu’une suite?

Une suite, c’est une famille d’éléments (ici des nombres) indexée par l’ensemble des entiers naturels.
De manière moins abstraite, imaginez vous une bibliothèque (c’est la suite) très très grande (en fait, elle est infinie), dans laquelle tous les livres ont pour référence un entier positif (1,2,3,etc.). Bien évidement, chaque livre a une référence unique, dans le cas contraire comment pourriez vous m’apporter le livre numéro 7?
Définir une suite, c’est définir chaque élément (on parle de « terme ») correspondant à chaque référence (en clair : qui est le livre numéro 7).

Par exemple : la suite des entiers pairs (u_n)_{n\in \mathbf{N}} (prononcez « u indice n, n dans grand n » ; on aurait pu l’appeler autrement mais u est rapide à écrire) est définie par :
Pour tout entier naturel (c’est à dire un entier plus grand ou égal à 0) u_n = 2\times n.
On a alors u_0 = 0u_1 = 2u_3 = 6, etc. Vous avez bien là l’ensemble des entiers pairs !

Une fois cette notion comprise, on peut définir la suite (\mathcal{F}_n)_{n\in \mathbf{N}} de Fibonacci.
Pour tout n entier naturel, \mathcal{F}_n = \mathcal{F}_{n-1} + \mathcal{F}_{n-2} et \mathcal{F}_0 = 0, \mathcal{F}_1 = 1.

À partir de cette définition, la suite est bien totalement définie. Cependant, vous l’aurez remarqué, j’ai utilisé une règle étrange pour donner la valeur de chaque terme. J’ai fait ce que l’on appelle dans le jargon mathématique : une suite définie par récurrence. C’est-à-dire que chaque terme est défini par des termes précédents.

Difficile de donner directement la valeur de \mathcal{F}_{324}. Il faut avant, connaître les valeurs \mathcal{F}_{322} et \mathcal{F}_{323}. Cependant pour ces valeurs là il faut connaître les valeurs précédentes et ainsi de suite.

La récurrence est donc un procédé pratique pour définir une suite, mais assez embêtant pour connaitre explicitement les valeurs. Pour les connaître, il faut résoudre la récurrence. Une telle résolution nous donnerait :

\mathcal{F}_n = \frac{1}{\sqrt{5}}\left(\phi^n +\left(\frac{-1}{\phi} \right)^n\right)

avec bien évidement \phi le nombre d’or !

Le nombre d’or apparaît dans la résolution de la suite récurrente. Les termes de la suite de Fibonacci sont donc couramment présents là où l’esthétique dans les rapports est importante (comme dans l’architecture).

Ainsi, nous avons posé les bases du nombre d’or et nous verrons dans le prochain article les principales applications du nombre d’or en histoire de l’art et la vérité sur le schéma d’un autre célèbre Leonardo 😉

NB :  Vous l’aurez sans doute remarqué, la rédaction de cet article est un peu différente. C’est parce qu’il fut rédigé à 4 mains ! 2 d’historiens, 2 de mathématiciens !

Nous espérons que ce court article vous aura plus, n’hésitez pas à laisser un commentaire : une remarque, une question, une suggestion, une recette à cookies (hum), etc.

 

Pour aller plus loin : 

I. Heullant Donat (dir.), Education et cultures, Occident chrétien XIIe-XVe siècle, Tome II, Atlande, 1999

V. Arnold, Equations différentielles ordinaires, Ellipses, Editions Mir Moscou, 1974

Le Roman de Renart : what does the fox say ?

Les renards sont souvent, dans notre esprit, des animaux très rusés et très malins. Le renard tient son nom et sa réputation d’un roman célébrissime du moyen âge (un best-seller médiéval, pourrait-on dire) : le Roman de Renart. Auparavant, le renard avait pour nom goupil, mot français dérivé du nom latin vulpes

En fait cette représentation aujourd’hui du renard est due à une culture littéraire qui date du Moyen Âge et qui nous a été transmise par divers chemins. Le Roman de Renart est une fenêtre sur la culture littéraire du Moyen Âge et sur la société médiévale des XIIe et XIIIe siècles.

Vulpes Vulpes

Vulpes Vulpes

Pour les plus jeunes, le nom de goupil vous dit peut-être quelque chose, même si vous n’avez jamais lu de textes médiévaux ou de textes latins : vous vous rappelez probablement du pokémon Goupix ! (et oui, même les pokémons n’ont pas des noms choisis au hasard). Goupix est le nom choisi par les traducteurs français pour interpréter le nom japonais qui vient de la mythologie japonaise. 

Goupix

Goupix

Renard est un goupil qui cherche, au cours de ses aventures, à se procurer de la nourriture et à jouer des tours. Il est l’archétype du mauvais chevalier, qui ne respecte pas ses promesses et qui se moque du pouvoir du roi. Toute la société médiévale est représentée par des animaux, dans la tradition des fables d’Esope. Le roman est d’abord le nom d’un texte rédigé en langue romane, c’est-à-dire la langue parlée au début du moyen âge (entre le VIIIe et le XIIe siècle) puis il désigne un genre particulier.

Le Roman de Renart ne ressemble pas à un roman d’aujourd’hui, mais plutôt à une série d’aventures ou une série de petits contes. Le Roman de Renart n’est donc pas un livre, mais un ensemble de manuscrits, qui ont été écrits et recopiés entre environ 1175 et 1250. Aux XIIe et XIIIe siècles, peu de gens savent lire. Les aventures de Renart sont contées dans les lieux publics (place du marché, rues mais aussi palais et cours des seigneurs) par des jongleurs itinérants. Ces jongleurs ont souvent des instruments de musique pour accompagner les récitations. Le Roman est versifié comme une poésie : il est composé de 60 à 70 récits en octosyllabes.

Comme les aventures étaient très populaires, des épisodes ont été ajoutés au fur et à mesure. Les auteurs connus sont Pierre de Saint-Cloud, le plus ancien, Richard de Lison et le prêtre de la Croix-en-Brie.  Le XIIe siècle est un moment tournant pour l’écriture en langues vernaculaires. Le français est utilisé pour des textes dont le sujet n’est pas religieux et qui sont le plus souvent en vers. Il existe très tôt une littérature qui prend les codes inverses de la littérature courtoise : mise en avant de l’amour, mais sans ménager le clergé et sans spiritualité.   

Roman de Renart, BNF, Paris; Ms fr.12584, folio 18v-19r

Roman de Renart, BNF, Paris; Ms fr.12584, folio 18v-19r

Si les aventures du mauvais chevaliers plaisent et font rire le public médiéval, c’est qu’elles résonnent avec l’ordre et les codes de la société de l’époque. sous les règnes de Louis VII (1137-1180) et de Philippe Auguste (1180-1223), la France était régie par le roi et par un système féodal : c’est un régime politique, économique et social fondé sur le fief, généralement une terre concédée par un seigneur à un vassal en échange d’obligations de fidélité mutuelle, de protection de la part du seigneur, de services de la part du vassal. En haut de la pyramide, le seigneur est le roi. A partir du règne de Philippe Auguste, le pouvoir du roi affirmé et la puissance de certains seigneurs sont affaiblis. 

Le siège de Maupertuis, Jacquemart Gielée, Renart le Nouvel, Nord de la France, 1290-1300, BNF, Manuscrits, fr 1581 f. 8V

Le siège de Maupertuis, Jacquemart Gielée, Renart le Nouvel, Nord de la France, 1290-1300, BNF, Manuscrits, fr 1581 f. 8V

D’autres épisodes font références à la croisade :  c’est en effet un élément important du contexte historique. Du XIe au XIIIe siècles furent organisées neuf croisades vers Jérusalem. Partir en croisade était un moyen pour des chevaliers et des seigneurs d’oeuvrer pour leur salut et de se repentir.

A la fin de l’épisode du « Jugement de Renard », par exemple, ce dernier échappe à la pendaison en promettant de partir en croisade. Il est bon aussi de rappeler que c’est aussi une période de guerre contre l’Angleterre, dont l’épisode le plus célèbre est la victoire de Bouvines en 1214 contre Jean sans Terre. Quelques épisodes des aventures de Renard sont connues par les Fables de la Fontaine. C’est le cas, par exemple, du renard et de maître Corbeau : dans le Roman, pour manger maître Tlécelin le corbeau, Renart fait chanter le corbeau pour faire tomber le fromage qu’il avait dans le bec et fait croire qu’il est blessé pour laisser Tlécelin s’approcher de lui.

Renart et Tlécelin le corbeau, Manuscrit fr. 1580f. 48, BNF

Renart et Tlécelin le corbeau, Manuscrit fr. 1580f. 48, BNF

D’autres romans du Moyen Âge sont très célèbres comme le Roman de Fauvel, un âne devenu roi, le Roman de la Rose ou encore les romans de chevalerie de Chrétien de Troyes comme Lancelot ou le Chevalier de la Charrette. Y en a-t-il d’autres que vous auriez lus et que vous conseillerez ? 

Pour aller plus loin :

Un manuscrit du Roman de Renart à feuilleter et à télécharger sur Gallica : http://couic.fr/6mq   !

Le dossier pédagogique de la BNF : http://classes.bnf.fr/renart/index.htm

Une édition du Roman de Renart qui m’a bien plu : Le roman de Renart, Larousse, Petits Classiques Larrouse, 2008  

Histoire culturelle de la France : Jean-Philippe Genet, La mutation de l’éducation et de la culture médiévales, Occident chrétien (XIIe-milieu du XIVe siècle), tome 1, Seli Arslan, Paris, 1999

Jean-François Sirinelli, Jean-Pierre Rioux, Michel Sot (dir.), Histoire culturelle de la France, 1 : Le Moyen Age, Seuil, Paris, 1997

La dame à la Licorne et toutes les autres licornes

Pour les vacances qui arrivent, pourquoi n’iriez-vous avec votre enfant (ou vos enfants) voir La dame à la Licorne, exposée au musée de Cluny  ?

La dame à la Licorne - musée de Cluny

La dame à la Licorne – musée de Cluny

La dame à la licorne a été utilisée pour de nombreuses occasions, et notamment pour le décor de la salle commune des Gryffondor dans Harry Potter : c’est bien la dernière toile, la sixième, la plus mystérieuse qui a été choisie pour l’occasion. La plupart des fans de Harry Potter l’auront déjà remarqué…

Salle commune de Gryffondor dans Harry Potter

Salle commune de Gryffondor dans Harry Potter

La vraie toile fait partie en réalité d’un ensemble de tapisseries de la fin du XVe siècle, commandées par un magistrat lyonnais, et qui représentent chacune un sens : le goût, l’ouïe,  l’odorat, la vue et le toucher. La sixième représente une femme qui range son collier dans son coffre. Sur la tente est écrit  » à mon seul désir », ce qui a pu faire penser que cette  toile représente la volonté comme « sixième sens », mais chacun est libre d’avoir sa propre idée.

Les tapisseries sont très grandes, environ 3 mètres de hauteur pour 2 à 4 mètres de large, ce qui rend l’observation agréable. On peut voir tous les petits détails amusant : des lapins, des singes, des petits chiens, des renards… Tout pour jouer à reconnaître et à compter les animaux !

Détail de La dame à la Licorne

Détail de La dame à la Licorne

Les licornes étaient jusqu’au XVIe siècle, voire XVIIe siècle, assez présentes dans les représentations iconographiques et héraldiques. Leur existence était certaine pour les contemporains, suite à la description de voyageurs en Afrique, peut-être à la suite d’une confusion avec des antilopes.  Leur dessin était variable, comme on peut le voir avec ces extraits de différentes cartes maritimes du XVIe siècle  :

Licorne dans la Carte nautique de Joan Oliva, 1595

Licorne en Afrique dans la Carte nautique de Joan Oliva, 1595, bnf

Licorne dans Atlas nautique de Joan Martines, 1583

Licorne dans l’Atlas nautique de Joan Martines, 1583, bnf

Dans la représentation des cartes, souvent des animaux fantastiques illuminent des espaces « blancs », des lieux peu connus. Pour voir plus d’animaux extraordinaires (comme les sirènes et les dragons) dans les cartes anciennes, la bnf fait une très belle exposition virtuelle : http://expositions.bnf.fr/marine/albums/creatures.

Pourquoi ne pas demander aux enfants leurs propres dessins d’un licorne ? Le résultat peut bien être au final plus convaincant que celui des cartes du XVIe siècle 🙂

Des livres peuvent accompagner votre visite avec votre enfant, si vous le désirez : par exemple, Mon Petit Cluny, de Marie Sellier.

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Si vous êtes intéressé(e) par cette oeuvre et que vous voulez en savoir plus sur son histoire, voici la présentation fournie par le musée de Cluny : http://www.musee-moyenage.fr/media/documents-pdf/dossiers-de-presse/dp-dame-la-licorne.pdf.

Sur l’histoire des licornes, un livre d’histoire de référence est paru l’année dernière : Les secrets de la licorne, de Michel Pastoureau et Elisabeth Delahaye.

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Et voici les dernières créations incroyables autour de l’oeuvre au centre Georges Pompidou !!