Le nombre d’or et l’histoire de l’art

Quel point en commun entre ces cartes de paiement, ce tableau de Turner et le Parthénon ?

Norham Castle at Sunrise, J. M. W. Turner, 1845

Norham Castle at Sunrise, J. M. W. Turner, 1845

Cartes de paiement

Cartes de paiement

Le Parthénon

Le Parthénon

Oui oui, c’est bien leur forme, qui s’approche toutes d’un rectangle qui plaît aux yeux,  le rectangle d’or.

Pour toute introduction, le mieux est encore de commencer avec un dessin animé de Disney : le nombre d’or est expliqué entre la 8′ et 13′ minutes.

 

Rectangle d'or

Rectangle d’or

 

Cette proportion du rectangle, qualifiée de  « divine » par un mathématicien du XVe siècle, a une histoire que l’on peut retracer selon trois moments importants.

Elle commence en Grèce antique. Les réflexions sur la proportion remontent très loin dans l’Antiquité, mais on considère souvent que c’est Phidias (490-430 av. J-C), sculpteur à Athènes, qui  a utilisé le premier, sciemment, la divine proportion pour ses oeuvres, notamment sa statue d’Athéna, qui n’existe plus aujourd’hui.

Après la guerre contre les Perses (492-449 av. J.-C.). Periclès fut à initiative d’un grand programme de construction vers 447. Ainsi l’architecte Ictios réalisa le Parthénon, construit en l’honneur d’Athéna et qui devait accueillir la  statue créée par Phidias. Le Parthénon fut aussi construit selon un rectangle d’or.  Vitruve, un architecte romain du Ier siècle, mentionne dans ses sources qu’Ictios aurait rédigé un traité, aujourd’hui perdu.

Le plan du Parthénon et sa façade, telle qu’elle était à l’origine avec son fronton, respectent la même proportion :

Plan du Parthénon

Plan du Parthénon

Une reconstitution grandeur nature du Parthénon, au parc du Centenaire (1897), à Nashville (États-Unis)

Une reconstitution grandeur nature du Parthénon, au parc du Centenaire (1897), à Nashville (États-Unis)

 

L’idéal esthétique grec se retrouve durant l’époque romaine, comme en témoigne Vitruve.

Vitruve  présenta dans son De Architectura l’idéal de l’architecture : l’imitation de la nature. Dans son livre III sur les temples, il explique que le corps humain a des proportions parfaites ; les temples doivent avoir alors les mêmes proportions.

L'homme de Vitruve, Leonard de Vinci, dans la Divine Proportion de Luca Pacioli, 1509

L’homme de Vitruve, Leonard de Vinci, dans De la Divine Proportion de Luca Pacioli, 1509

Si le rectangle d’or est utilisé au Moyen Âge, c’est à la Renaissance que l’on rencontre les nouveaux théoriciens et mathématiciens qui se penchent sur la question.

Luca Pacioli (1445-1514) est peut-être le mathématicien le plus célèbre d’entre eux. Il est italien, originaire de Borgo San Sepolcro, et il est moine franciscain. Hommes de sciences, il est théologien et mathématicien. Son amitié avec Piero della Francesca, un des pionniers de la perpective, lui permet d’accéder à d’importantes bibliothèques italiennes, comme celle du duché d’Urbino. Invité par Ludovic le More, duc de Milan, à sa cour, il y rencontra Leonard de Vinci, avec qui il devient aussi ami. Un peu comme Frédéric II qu’on a vu dans l’article précédent, Ludovic Sforza voulait faire de sa cour un lieu intellectuel et culturel important.

L’oeuvre majeure de Luca Pacioli est la Summa di arithmetica, geometrica, proportione et proportionalita, encyclopédie mathématique, publiée en 1494. Mais il est aussi connu pour sa  De Divina Proportione, imprimé à Venise en 1509 et dont un manuscrit avait été offert à au duc de Milan. Dans cet ouvrage, composé de trois livres, Pacioli attribue à la proportion divine à un idéal divin. L’incommensurabilité et la perfection du nombre d’or sont vues par ce mathématicien du XVe siècle comme une oeuvre de Dieu, insaisissable et parfaite.

Leonard de Vinci a illustré le premier livre du De Divina Proportione : c’est le célèbre Homme de Vitruve (cf plus haut), qui voyait dans le corps humain la proportion parfaite.

Pour comprendre la fascination autour de ce nombre, voici quelques explications mathématiques :

Le nombre d’or

Le nombre d’or, que nous noterons traditionnellement \phi (lettre phi empruntée à la 1ere du nom de Phidias) est la proportion pour laquelle si a et b sont respectivement la longueur et la largeur d’un rectangle. Alors le rapport \phi\frac{a}{b} est égal à \frac{a+b}{b}.

Une résolution de cette équation donne \phi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}. Rien de bien charmant. Une écriture décimale approchée nous donne environ : 1,61803398. Cependant ce nombre étant irrationnel, par définition, il ne peut être écrit explicitement en base décimale (ou en base quelconque). Son écriture en fractions continues est \frac{1}{1 + \frac{1}{1+\frac{1}{1+...}}}, ce qui cette fois, est plutôt joli.

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Le nombre d’or est ainsi connu pour certaines propriétés esthétiques et pour son apparition dans la suite très connue de Fibonacci.

Pour terminer cet article, ajoutons que certaines oeuvres musicales ont le nombre d’or pour déterminer le nombre de mesures. 

 Nous espérons que ce deuxième article de la série pluridisciplinaire vous aura plus, n’hésitez pas à laisser un commentaire : une question, une remarque, un ajout éventuel à faire 🙂

Pour aller plus loin :

http://images.math.cnrs.fr/Le-Nombre-d-or.html

Le nombre d’or. Le langage mathématique de la beauté, collection présentée par Cédric Villani, No1, 164 p., 3,99 €

Priya Hemenway, The Secret Code, The mysterious formula that rules art, nature, and science, Evergreen, 2008

 

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