Des lapins et Frédéric II : quel lien ? Leonardo Fibonacci !

Introduction

Palais des Normands à Palerme ; cour intérieur

Palais des Normands à Palerme ; cour intérieur

Un lapin

Un lapin

Cette semaine, nous allons faire un billet d’un autre genre, d’un genre tout nouveau pour ce blog. L’histoire de la suite de Fibonacci et du nombre d’or est peut-être l’une des plus connue des mathématiques. Le nombre d’or est aussi peut-être LA proportion à connaître pour l’histoire de l’art. 

Fibonnaci est connu pour avoir résolu, dans le Flos Leonardi, 15 problèmes d’analyse dont le « problème des lapins ». Voici, telle qu’elle a été formulée, le problème introduisant la suite de Fibonacci :

Un homme met un couple de lapins dans un lieu isolé de tous les côtés par un mur. Combien de couples obtient-on en un an si chaque couple engendre tous les mois un nouveau couple à compter du troisième mois de son existence ?

Evidemment, plus qu’un intérêt pour les lapins, c’est une question d’étude de la dynamique des populations.

Qu’est-ce qui est intéressant ? Personnellement, nous trouvons la question de la dynamique profondément intéressante notamment en raison des deux points suivants :

  • Pouvoir mettre des mots simples sur des choses qui paraissent complexes. Si cette histoire est si agréable à écouter et à formuler, c’est parce qu’elle est simple (à ne pas confondre avec facile).
  • Parce qu’elle cache beaucoup de choses. Au fond, les lapins n’ont que peu d’importance, on sait d’avance que cela n’a pas de sens « réel ». Mais derrière ce problème se cachent des outils communs à énormément de problèmes, allant de la trajectoire des astres au mouvement de convection d’un liquide chauffé.

Mais pour commencer, un peu d’histoire ! 

Mais qui était donc Fibonacci ? 

Statue de Léonard de Pise, dans sa ville natale

Statue de Léonard de Pise, dans sa ville natale

Fibonacci était un italien du XIIIe siècle, qui s’appelait Leonardo et était surnommé Bigollo (« le voyageur »). On connait mal sa vie, mais on sait qu’il est né à Pise vers 1170 et qu’il a passé la majeure partie de sa vie à Béjaïa (anciennement Bougie), où son père était un »publicus scriba »  (chancelier, notaire ou représentant commercial, on ne sait pas exactement) de Pise. Ils ont beaucoup voyagé en Egypte, en Syrie, en Grèce, en Sicile et en Provence. A Béjaïa, il fait des études de mathématiques avec un mathématicien arabe, dont il a probablement appris le système de notation décimal.

Liber abaci, MS Biblioteca Nazionale di Firenze, Codice Magliabechiano cs cI 2616, fol. 124

Liber abaci, MS Biblioteca Nazionale di Firenze, Codice Magliabechiano cs cI 2616, fol. 124

Sa plus grande oeuvre est le Liber abaci, daté de 1202 où il expose les avantages du système numéraire « indien » (ou « arabe », celui actuel) et comment simplifier les calculs/équations. Il étudia aussi les théories de la proportion et les techniques pour trouver les solutions d’équations. Il publia plus tard, en 1220, la Practica geometriae (1220), un traité où il présente notamment le nombre Pi.

Il est intéressant de voir que Fibonacci ait fréquenté la cour de Frédéric II en Sicile, empereur germanique et qu’il fut sous sa protection. Le Liber quadratorium (1225) lui est dédicacé et il le rencontra en 1226. Cette oeuvre, considérée comme la plus grande, est consacrée encore aux théories des nombres et contient la fameuse suite de Fibonacci.

Frédéric II était un empereur atypique, en conflit permanent avec le pape mais protecteur des savants du monde entier.

Frederick_II_and_eagle

Né en Italie lui aussi, il régna entre 1220 et 1250 sur le Saint-Empire romain germanique. Ce dernier était composé de nombreux territoires différents et se trouvait en concurrence notamment avec la papauté, d’où les nombreux conflits avec l’empereur. Empereur de nombreux territoires, il est à la confluence de nombreuses cultures et langues : le grec, le latin, l’italien, l’arabe, le normand et l’allemand (que lui-même maîtrisait mal).

 

Schéma du Saint-Empire germanique vers 1181

Croquis du Saint-Empire germanique vers 1181

Mais l’originalité de la cour de Frédéric II est vraiment cette présence de savants et l’émulation scientifique et littéraire. Il rassemblait poètes, traducteurs, philosophes et mathématiciens comme Fibonacci ou Michel Scot. Il fit traduire des oeuvres très importantes comme celles d’Aristote et Avicenne. Frédéric II fut lui-même à l’origine d’un traité : de l’Art de chasser avec les oiseaux (De arts venandi cum avibus).  On comprend donc le climat dans lequel a dû évoluer Leonardo Fibonacci. Entre la cour de Sicile et ses nombreux voyages, Fibonacci a appris beaucoup des sciences mathématiques arabes du IXe et Xe siècles (l’algèbre l’arithmétique).

La suite de Fibonacci : aspects mathématiques

Revenons aux lapins pour comprendre la suite de Fibonacci. Regardons le nombre de couples de lapins adultes au fil des mois. Explicitons les règles : 

  • on commence par 1 couple jeune et 0 couple adulte le 1er mois ;
  • le 2e mois, on a 0 couple jeune et 1 couple adulte ;
  • le 3e mois, on a 1 couple jeune et 1 couple adulte ;
  • le 4e mois, on a 1 couple jeune et 2 couples adultes ;

=> et ainsi de suite : on a  0 couple adultes puis 1 puis 1 puis 2 puis 3 puis 5 puis 8 et que je vous demande le prochain numéro gagnant, que dîtes vous ? Vous devriez dire 13 pour gagner, en effet, chaque nombre est la somme des deux précédents. C’est ce qu’on appelle la « suite de Fibonacci ».

La suite grandit très vite  et même de manière dite exponentielle. Mais tout d’abord, qu’est-ce qu’une suite?

Une suite, c’est une famille d’éléments (ici des nombres) indexée par l’ensemble des entiers naturels.
De manière moins abstraite, imaginez vous une bibliothèque (c’est la suite) très très grande (en fait, elle est infinie), dans laquelle tous les livres ont pour référence un entier positif (1,2,3,etc.). Bien évidement, chaque livre a une référence unique, dans le cas contraire comment pourriez vous m’apporter le livre numéro 7?
Définir une suite, c’est définir chaque élément (on parle de « terme ») correspondant à chaque référence (en clair : qui est le livre numéro 7).

Par exemple : la suite des entiers pairs (u_n)_{n\in \mathbf{N}} (prononcez « u indice n, n dans grand n » ; on aurait pu l’appeler autrement mais u est rapide à écrire) est définie par :
Pour tout entier naturel (c’est à dire un entier plus grand ou égal à 0) u_n = 2\times n.
On a alors u_0 = 0u_1 = 2u_3 = 6, etc. Vous avez bien là l’ensemble des entiers pairs !

Une fois cette notion comprise, on peut définir la suite (\mathcal{F}_n)_{n\in \mathbf{N}} de Fibonacci.
Pour tout n entier naturel, \mathcal{F}_n = \mathcal{F}_{n-1} + \mathcal{F}_{n-2} et \mathcal{F}_0 = 0, \mathcal{F}_1 = 1.

À partir de cette définition, la suite est bien totalement définie. Cependant, vous l’aurez remarqué, j’ai utilisé une règle étrange pour donner la valeur de chaque terme. J’ai fait ce que l’on appelle dans le jargon mathématique : une suite définie par récurrence. C’est-à-dire que chaque terme est défini par des termes précédents.

Difficile de donner directement la valeur de \mathcal{F}_{324}. Il faut avant, connaître les valeurs \mathcal{F}_{322} et \mathcal{F}_{323}. Cependant pour ces valeurs là il faut connaître les valeurs précédentes et ainsi de suite.

La récurrence est donc un procédé pratique pour définir une suite, mais assez embêtant pour connaitre explicitement les valeurs. Pour les connaître, il faut résoudre la récurrence. Une telle résolution nous donnerait :

\mathcal{F}_n = \frac{1}{\sqrt{5}}\left(\phi^n +\left(\frac{-1}{\phi} \right)^n\right)

avec bien évidement \phi le nombre d’or !

Le nombre d’or apparaît dans la résolution de la suite récurrente. Les termes de la suite de Fibonacci sont donc couramment présents là où l’esthétique dans les rapports est importante (comme dans l’architecture).

Ainsi, nous avons posé les bases du nombre d’or et nous verrons dans le prochain article les principales applications du nombre d’or en histoire de l’art et la vérité sur le schéma d’un autre célèbre Leonardo 😉

NB :  Vous l’aurez sans doute remarqué, la rédaction de cet article est un peu différente. C’est parce qu’il fut rédigé à 4 mains ! 2 d’historiens, 2 de mathématiciens !

Nous espérons que ce court article vous aura plus, n’hésitez pas à laisser un commentaire : une remarque, une question, une suggestion, une recette à cookies (hum), etc.

 

Pour aller plus loin : 

I. Heullant Donat (dir.), Education et cultures, Occident chrétien XIIe-XVe siècle, Tome II, Atlande, 1999

V. Arnold, Equations différentielles ordinaires, Ellipses, Editions Mir Moscou, 1974

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2 réflexions sur “Des lapins et Frédéric II : quel lien ? Leonardo Fibonacci !

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